519.6 Ш 655 Шишкин, Г. И. Аппроксимация системы сингулярно возмущенных параболических уравнений реакции-диффузии на прямоугольнике [Текст] / Г. И. Шишкин, авт. Л. П. Шишкина // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2008. - Т. 48, N 4. - С. 660-673. - Библиогр.: с. 673 . - ISSN 0044-4669
Рубрики: Математика Вычислительная математика Кл.слова (ненормированные): априорные оценки решения и производных -- возмущающиеся параметры ипсилон -- ипсилон-равномерные сходимости -- начально-краевые задачи на прямоугольнике -- параболические пограничные слои -- параболические уравнения реакции-диффузии -- разностные аппроксимации Аннотация: На прямоугольнике рассматривается задача Дирихле для системы двух сингулярно возмущенных параболических уравнений типа реакции-диффузии. Старшие производные уравнений содержат возмущающий параметр ипсилон{2}, ипсилон принимает произвольные значения из полуинтервала (0, 1]. При значении параметра ипсилон, равном нулю, система параболических уравнений вырождается в систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно переменной t. При стремлении параметра ипсилон к нулю в окрестности границы появляется параболический пограничный слой с характерной шириной ипсилон. С использованием метода сгущающихся сеток и классических разностных аппроксимаций краевой задачи строится специальная разностная схема. Доп.точки доступа: Шишкина, Л. П. |
Шишкин, Г. И. Обусловленность разностных схем для сингулярно возмущенного параболического уравнения конвекции-диффузии [Текст] / Г. И. Шишкин // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2008. - Т. 48, N 5. - С. 813-830. - Библиогр.: с. 829-830 . - ISSN 0044-4669
Рубрики: Математика Вычислительная математика Кл.слова (ненормированные): возмущающие параметры ипсилон -- ипсилон-равномерные сходимости -- ипсилон-равномерные хорошие обусловленности схемы -- конечно-разностные аппроксимации -- краевые задачи -- обусловленности матрицы -- параболические уравнения конвекции-диффузии Аннотация: В случае краевой задачи для сингулярно возмущенного параболического уравнения конвекции-диффузии исследуется обусловленность ипсилин-равномерно сходящейся разностной схемы на кусочно-равномерной сетке, а также разностной схемы на равномерной сетке при условии сходимости этой схемы. Для числа обусловленности схемы на кусочно-равномерной сетке получена ипсило-равномерная оценка О, где величины дельта[1] и дельта[0] - компоненты ошибки, порождаемые аппроксимацией производных по x и t соответственно; таким образом, эта схема хорошо обусловлена ипсилон-равномерно. Для числа обусловленности схемы на равномерной сетке имеем оценку О; схема не является ипсилон-равномерно хорошо обусловленной. В случае разностной схемы на равномерной сетке появляющаяся дополнительная ошибка, возникающая вследствие возмущений сеточного решения, неограниченно растет при ипсилон, стремящейся к 0, приводя к потере точности сеточного решения (происходит потеря значащих цифр сеточного решения). Числа обусловленности матриц исследуемых схем оказываются одинаковыми; матрицы как ипсилон-равномерно сходящейся схемы, так и схемы на равномерной сетке при условии сходимости этой схемы не являются ипсилон-равномерно хорошо обусловленными. |
Шишкин, Г. И. Сеточная аппроксимация параболического уравнения конвекции-диффузии на априорно адаптирующихся сетках; ипсилон-равномерно сходящиеся схемы [Текст] / Г. И. Шишкин // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2008. - Т. 48, N 6. - С. 1014-1033. - Библиогр.: с. 1033 . - ISSN 0044-4669
Рубрики: Математика Вычислительная математика Кл.слова (ненормированные): априорно адаптирующиеся сетки -- ипсилон-равномерные сходимости -- кусочно-равномерные сетки -- параболические задачи конвекции-диффузии -- почти ипсилон-равномерные сходимости -- сингулярные возмущения Аннотация: Рассматривается краевая задача для сингулярно возмущенного параболического уравнения конвекции-диффузии; строится разностная схема на априорно (последовательно) адаптирующихся сетках и исследуется ее сходимость. Построение схемы на априорно адаптирующихся сетках проводится на основе мажоранты сингулярной компоненты сеточного решения, позволяющей по возмущающему параметру ипсилон, шагу равномерной сетки по x, а также по требуемой точности сеточного решения и задаваемому числу итераций по уточнению решения K априорно указать подобласть, на которой сеточное решение требует дальнейшего уточнения. При решении сеточных задач в подобластях, на которых уточняется решение, используются равномерные сетки. Ошибка построенного решения слабо зависит от величины параметра ипсилон; схема сходится почти ипсилон-равномерно, а именно при условии N[-1] = o (ипсилон{v}, где величина v = v (K) может быть выбрана сколь угодно малой при подходящем достаточно большом K. Разностная схема сходится ипсило-равномерно, если на завершающей К-й итерации вместо равномерной сетки используется кусочно-равномерная сетка. Для этой кусочно-равномерной сетки отношение шагов сетки по x на участках сетки с постоянным шагом (вне погранслоя и внутри его) существенно меньше, чем для известных ипсилон-равномерно сходящихся схем на кусочно-равномерных сетках. |
Шишкин, Г. И. Аппроксимация сингулярно возмущенных параболических уравнений в неограниченных областях при кусочно-гладких граничных условиях в случае решений, растущих на бесконечности [Текст] / Г. И. Шишкин // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2009. - Т. 49, N 10. - С. 1827-1843. - Библиогр.: c. 1843 . - ISSN 0044-4669
Рубрики: Математика Вычислительная математика Кл.слова (ненормированные): задачи Коши -- ипсилон-равномерные сходимости -- Коши задачи -- кусочно-гладкие начально-краевые функции -- неограниченные области -- неограниченные росты решения на бесконечности -- Несовые равномерные нормы -- параболические уравнения реакции-диффузии -- пограничные и внутренние слои Аннотация: Рассматривается начально-краевая задача на неограниченной по x области на прямой для сингулярно возмущенного параболического уравнения реакции-диффузии. Начально-краевая функция является кусочно-гладкой. При малых значениях параметра ипсилон в окрестности боковой части границы и в окрестности характеристик предельного уравнения, проходящих через точки негладкости начальной функции, возникают, соответственно, пограничный и внутренние слои. В этой задаче уже в случае гладких решений при фиксированных значениях параметра ипсилон ошибка сеточного решения в равномерной норме неограниченно растет. С использованием метода специальных сеток, сгущающихся в окрестности пограничного слоя, либо в окрестностях пограничного и внутреннего слоев, строятся и исследуются специальные разностные схемы, сходящиеся ипсилон -равномерно в весовой норме. Показано, что скорость сходимости схем существенно зависит от типа негладкости в начально-краевых условиях. Рассмотрены также ипсилон-равномерно сходящиеся в весовой норме сеточные аппроксимации задачи Коши. |
Шишкин, Г. И. Схема Ричардсона повышенного порядка точности для семилинейного сингулярно возмущенного эллиптического уравнения конвекции-диффузии [Текст] / Г. И. Шишкин, Л. П. Шишкина // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2010. - Т. 50, N 3. - С. 458-478. - Библиогр.: с. 477-478 . - ISSN 0044-4669
Рубрики: Математика Вычислительная математика Кл.слова (ненормированные): Ричардсона техника -- ипсилон-равномерные сходимости -- линеаризованные итерационные схемы -- нелинейные схемы -- пограничные слои -- разностные схемы -- регулярные слои -- техника Ричардсона -- усеченные итерационные схемы -- эллиптические уравнения конвекции-диффузии Аннотация: Рассматривается задача Дирихле на вертикальной полосе для семилинейного сингулярно возмущенного эллиптического уравнения конвекции-диффузии. Для такой задачи нелинейная базовая разностная схема на основе классических аппроксимаций задачи на кусочно-равномерных сетках, сгущающихся в слое, сходится ипсилон-равномерно с порядком точности выше первого. На основе нелинейной базовой схемы строится линеаризованная итерационная схема, в которой нелинейный член вычисляется по искомой функции с предыдущей итерации. Эта схема используется при построении линеаризованной итерационной схемы Ричардсона, сходящейся ипсилон-равномерно с улучшенным порядком скорости сходимости. Итерационные схемы (базовая и улучшенная) с ростом числа итераций сходятся ипсилон-равномерно со скоростью геометрической прогрессии. Использование в качестве индикаторов верхних и нижних решений итерационных схем Ричардсона позволяет в процессе решения определить текущую итерацию, при которой достигается такая же ипсилон-равномерная скорость сходимости, как безытерационной нелинейной схемы Ричардсона. Показано, что для краевой задачи конвекции-диффузии не существует схем метода Ричардсона, сходящихся ипсилон-равномерно с порядком скорости сходимости выше второго: обсуждается принцип построения схемы выше второго порядка точности. Доп.точки доступа: Шишкина, Л. П. |
Шишкин, Г. И. Консервативная разностная схема для сингулярно возмущенного эллиптического уравнения реакции-диффузии. Аппроксимация решений и производных [Текст] / Г. И. Шишкин, Л. П. Шишкина // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2010. - Т. 50, N 4. - С. 665-678. - Библиогр.: с. 678 . - ISSN 0044-4669
Рубрики: Математика Вычислительная математика Кл.слова (ненормированные): аппроксимации краевых задач -- аппроксимации производных -- аппроксимации решений -- возмущающие параметры -- интегроинтерполяционный метод -- ипсилон-равномерные сходимости -- консервативные разностные схемы -- краевые задачи -- кусочно-равномерные сетки -- потоковые сетки -- эллиптические уравнения реакции-диффузии Аннотация: Рассматривается краевая задача на вертикальной полосе для сингулярно возмущенного эллиптического уравнения реакции-диффузии; производные в уравнении записаны в дивергентной форме. С использованием интегроинтерполяционного метода и метода сгущающихся сеток строятся консервативные разностные схемы на потоковых сетках. Доп.точки доступа: Шишкина, Л. П. |